导数与泰勒公式

前言

此篇文章过于玄学高深，小编这位蒟蒻也不是很懂，所以...

一.导数

1.导数的定义与概念(摘自百度)

导数（Derivative），也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。

当函数$y=f(x)$的自变量$x$在一点$x_0$上产生一个增量$Δx$时，函数输出值的增量$Δy$与自变量增量$Δx$的比值在$Δx$趋于0时的极限$a$如果存在，$a$即为在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

红线是切线，紫线是割线。

2.导函数

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

如果函数$f(x)$在$(a,b)$中每一点处都可导，则称$f(x)$在$(a,b)$上可导，可建立$f(x)$的导函数，简称导数，记为$f'(x)$

值得注意的是，导数是一个数，是指函数$f(x)$在点$x_0$处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

3.数学表达式

由定义可得：

$f'(x)=lim_{\Delta x \to 0 }\frac{ f(x+\Delta x) - f(x) }{ \Delta x }$

5.一阶导数的四则运算

1.$(u(x)+v(x))'=u'(x)+v(x)'$

2.$(u(x)-v(x))'=u'(x)-v(x)'$

3.$(u(x)*v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

4.$(\frac{u(x)}{v(x)})'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2}$

6.例题

先来一道数学题吧：函数$f(x)$在$x=a$处可导，且$lim_{x \to a}\frac{f(x)}{x-a}=2$，求$f(a)$，$f'(a)$。

因为$x$趋近于$a$，所以$x-a$趋近于$0$,要想极限等于一个常数，那么$lim_{x \to a}f(x)$一定为$0$。所以$f(a)=0$

那么，$f'(a)=lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=lim_{x \to a}\frac{f(x)}{x-a}=2$

二.高阶导数

1.概念

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。$f(x)$的$n$阶导数记为$f^{(n)}(x)$

显然，$f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x)]'$。

2.计算法则

1.$[u(x)+v(x)]^{(n)}=u^{(n)}(x)+v^{(n)}(x)$

2.$[u(x)-v(x)]^{(n)}=u^{(n)}(x)-v^{(n)}(x)$

3.莱布尼兹公式：$[u(x) * v(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k~*~u^{(n-k)}(x)~*~v^{(k)}(x)$

证明：

$~~~\because [u(x)*v(x)]'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$

$~~~ \therefore [u(x)* v(x)]''=[u'(x) * v(x)+u(x)* v'(x)]'$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = [u'(x)*v(x)] '+[u(x)*v'(x)]'$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = [u''(x)*v(x)+u'(x)*v'(x)] +[u(x)*v''(x)+u'(x)*v'(x)]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = u''(x)*v(x)+2 *u'(x)*v'(x) +u(x)*v''(x)$

然后，你会发现，它非常像二项式展开后的形式，用归纳法可证。

3.简单的求导

1.常函数：$f(x)=a \to f'(x)=0$

这个很显然嘛。

2.幂函数：$f(x)=x^a \to f'(x)=a * x^{a-1}$

证明：$f'(x)=lim_{\Delta x \to 0 }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{\Delta x \to 0 }\frac{(x+\Delta x)^a-x^a}{\Delta x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{\Delta x \to 0 }\frac{(\sum_{i=0}^{a}~C_a^i*x^{a-i}*{\Delta x}^i)-x^a}{\Delta x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{\Delta x \to 0 }\sum_{i=1}^{a}~C_a^i*x^{a-i}*{\Delta x}^{i-1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=C_a^1*x^{a-1}=a*x^{a-1}$

知道这个公式之后，我们很容易求出多项式的导数。

3.指数函数$~~~~~~~ f(x)=a^x ~~~~~~~~~~~~~~~$ $f'(x)=a^x~ln_a$

4.对数函数 $~~~~~~ f(x)=log_ax ~~~~~~~~~~~$ $f'(x)=\frac{1}{x~ln_a}$

5.自然对数 $~~~~~~ f(x)=ln~x ~~~~~~~~~~~~~$ $f'(x)=\frac{1}{x}$

6.自然指数 $~~~~~~f(x)=e^x ~~~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=e^x$

7.三角函数 $~~~~~~ f(x)=sin~x ~~~~~~~~~~~$ $f'(x)=cos~x$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ f(x)=cos~x ~~~~~~~~~~~$ $f'(x)=-sin~x$

三.泰勒公式（$\text{Taylor's~~formula}$）

1.简介

如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

2.推导公式

设$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

我们将上式的$x$改写为$x-x_0$，得到：$p(x)=A_0+A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)^2+...+A_n(x-x_0)^n$

为了方便，我们设$t=x-x_0$，则$p(x)=p(x_0+t)$，不妨记为$q(t)$。
所以$q(t)=A_0+A_1t+A_2t^2+...+A_nt^n$

通过对$q(t)$不断求导可得：

$q'(t)=A_1+2*A_2t+3*A_3t^2+...+n*A_nt^{n-1}$

$q''(t)=1*2*A_2+2*3*A_3t+...+(n-1)*n*A_n*t^{n-2}$

$...$

$q^{(n)}(t)=1*2*3*...*n*A_n$

我们发现，当$t=0$时，$q^{(k)}(t)=1*2...*k*a_k$，即

$A_k=\frac{q^{(k)}(0)}{k!}~~~( k \in [1,n])$

又

$\because q^{(k)}(t)= p^{(k)}(x_0+t)$

$~~~ \therefore A_k=\frac{p^{(k)}(x_0)}{k!} (k \in [1,n])$

$\therefore p(x)=p(x_0)+\frac{p'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

这就是泰勒展开式了，也可以写成如下形式：（规定$0!=1$）

$\therefore p(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{p^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$